Vektor

Tujuan pembelajaran
*membantu dan mempermudah kita dalam memahami pelajaran seputar vektor

A. Persamaan Gerak Lurus

Sebelum kita masuk posisi arah dan partikel kita harus tau Apa sih itu gerak lurus? Gerak lurus adalah persamaaan yang menyatakan hubungan antara jarak atau kedudukan benda, percepatan, dan waktu . Selain itu, persamaan gerak lurus juga merupakan hubungan antara gaya dan percepatan.

1. Posisi dan Arah Partikel Berdasarkan Vektor

Dalam fisiska telah diketahui bahwa besaran dapat digolongkan ke dalam dua bagian, yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah hanya mempunyai nilai saja. Contoh besaran Skalar yaitu, panjang, massa, waktu, suhu, massa jenis, volume, enegi potensial, usaha, potensial listrik, energi listrik dan lainsebagainya. Sedangkan besaran vektor yaitu selain mempunyai nilai dan juga mempunyai arah. Posisi dan arah partikl pada suatu bidang dapat dinyatakan dengan sebuah vektor. Vektor posisi dilambangkan dengan r .

Vektor posisi $\vec{r}$ dari partikel pada saat tersebut adalah sebuah vektor yang pergi dari titik pusat koordinat menuju titik P, gambar 1. Gambar juga memperlihatkan bahwa koordinat kartesian x, y dan z dari titik P adalah komponen x, y dan z dari vektor posisi $\vec{r}$ . Dengan menggunakan vektor satuan, kita dapat menulis:

$\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$

Gambar 1. Vektor posisi $\vec{r}$ dari pusat koordinat menuju titik P memiliki komponen x, y dan z (3 dimensi)

Saat partikel bergerak dalam sebuah bidang (2 dimensi), lintasannya secara umum adalah sebuah lengkungan, gambar 2(a). Selama selang waktu $\Delta t$ partikel bergerak dari ${{P}_{1}}$ , dengan vektor posisi ${{\vec{r}}_{1}}$ , menuju ${{P}_{2}}$ , dengan vektor posisi ${{\vec{r}}_{2}}$ . Perubahan selama selang waktu ini adalah $\Delta \vec{r}={{\vec{r}}_{2}}-{{\vec{r}}_{1}}$ . Sama seperti gerak lurus, kita mendefinisikan kecepatan rata-rata ${{\vec{v}}_{rt}}$ selama selang waktu ini sebagai perpindahan dibagi selang waktu:

${{\vec{v}}_{rt}}=\frac{{{{\vec{r}}}_{2}}-{{{\vec{r}}}_{1}}}{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$

Arah ${{\vec{v}}_{rt}}$ sama dengan arah $\Delta \vec{r}$ .

( a ) ( b )

Gambar 2. (a) Kecepatan rata-rata ${{\vec{v}}_{rt}}$ antara titik ${{P}_{1}}$ dan ${{P}_{2}}$ mempunyai arah yang sama sepanjang perpindahan $\Delta \vec{r}$ $.$ (b) Kecepatan sesaat $\vec{v}$ pada setiap titik selalu menyinggung lintasan yang melalui titik tersebut.

Vektor Percepatan

Sama seperti gerak dalam lintasan garis lurus, percepatan menyatakan bagaimana perubahan kecepatan sebuah partikel. Tetapi sekarang secara umum percepatan menyatakan perubahan dari besar kecepatan (yaitu lajunya) dan perubahan arah kecepatan (yaitu arah dari pergerakan partikel)

Ada 3 cara menyelesaikan vektor yaitu:
1.Dengan cara segitiga
2.Dengan cara jajargenjang
3.Poligon dengan sisi banyak
1.Dengan cara metode segitiga

.Metode segitiga adalah cara menggambarkan penjumlahan dua buah vektor dimana salah satu titik tangkap vektor dipindahkan keujung vektor yang lain kemudian ditarik garis lurus dari pangkal ke ujung vektor tersebut sehingga terbentuklah bangun datar segitiga.

Perhatikan cara menentukkan vektor resultan dengan metode segitiga berikut :
Dari gambar - gambar ini,yang menunjukkan besar vektor A = B - C adalah

Penyelesaian
Nah, disini untuk mempermudah dalam menyelesaikan soal, maka persamaan A = B - C kita ubah dulu ke bentuk penjumlahan yaitu sebagai berikut :

A = B - C
B = A + C
Nah,Maka dari penjumlahan tersebut maka yang menjadi vektor resultannya adalah Vektor B. Dari gambar yang kita lihat diatas, Cari vektor B yang ujungnya bertemu dengan ujung vektor lain dan pangkal vektor B bertemu dengan pangkal vektor lain. Gambar yang sesuai adalah gambar nomor 1,4 dan 5.

A => C
Dari gambar 1,4 dan 5 maka gambar yang paling sesuaiadalah gambar 4.Sehingga gambar yang menunjukkan besar vektor A= B - C adalah gambar 4.

2. Dengan cara metode jajargenjang

Untuk mencari besar dan arah resultan dua gaya yang tidak segaris kerja, yaitu yang bekerja pada satu titik tangkap digunakan metode jajargenjang sebagai berikut :

Contoh :

3) Metode poligon

Metode poligon adalah cara menggambarkan penjumlahan tiga buah vektor atau lebih dengan saling menghubungkan pangkal vektor keujung vektor yang lain sedemikian rupa hingga vektor terakhir. Setelah itu ditarik garis lurus dari pangkal vektor pertama menuju ujung vektor terakhir sehingga terbentuklah bangun segi banyak atau poligon.

Menentukkan vektor resultan dengan metode poligon sebagai berikut!

Contoh soal≠1

Gambar resultan dari R = a-c-d dengan menggunakan metode poligon yang benar adalah

Penyelesaian

Untuk mempermudah dalam menyelesaikan soal, persamaan R = a-b-c kita ubah dahulu kebentuk penjumlahan yaitu sebagai berikut!

R = a- b - c

a = R + c +d

Dari bentuk penjumlahan tersebut, maka kita bisa mengatakan bahwa yang menjadi vektor resultannya adalah a. Dari kelima gambar diata,cari vektor a yang ujungnya bertemu dengan pangkal vektor lain.Gambar yang sesuai dengan karakteristik tersebut adalah gambar 5 .

Dalam pelajaran ini kita akan batasi pembahasan hanya pada gerak dalam bidang (dua dimensi).

1. Posisi Partikel pada suatu bidang
Posisi partikel pada suatu bidang akan kita nyatakan dengan vektor-vektor satuan, yaitu vektor satuan pada sumbu X, ditulis i dan pada sumbu Y, ditulis j.

Besar vektor satuan
Ambil titik asal O sebagai titik acuan, maka posisi sebuah partikel yang bergerak pada bidang XOY dimana pada saat t memiliki koordinat (x,y) dapat dinyatakan sebagai

Posisi Partikel pada Bidang

2. Perpindahan Partikel Pada Bidang

Misalkan lintasan yang ditempuh sebuah partikel pada suatu bidang adalah seperti pada gambar di atas. Pada saat t = t1, partikel berada di titik P1 (x1, y1) dengan vektor posisi r1 = x1i+ y1j. Beberapa saat kemudian, t = t2, partikel berada di titik P2(x2, y2) dengan vektor posisi r2 = x2 i + y2 j.
Bagaimanakah perpindahan partikel itu dari t = t1 ke t = t2?
Perpindahan didefinisikan sebagai perubahan kedudukan suatu benda dalam suatu selang waktu tertentu. Vektor perpindahan berarah dari titik awal ke titik akhir. Pada gambar di atas, titik awal adalah P1 dan titik akhir adalah P2. Tentu saja vektor perpindahan r adalah segmen garis berarah P1P2. Pada segitiga vektor OP1P2, vektor yang menutup adalah r2 sehingga berlaku
r2 = r1 + r atau r = r2 – r1
Dalam bentuk komponen kita peroleh
r = (x2 i + y2 j) – (x1 i + y1 j) = (x2 – x1) i + (y2 – y1) j
r = x i + y j
dengan x = x2 – x1 dan y = y2 – y1

3. Kecepatan Partikel Pada suatu bidang
1. Kecepatan rata-rata
Telah dipelajari di kelas X dan didefinisikan bahwa kecepatan rata-rata sebagai hasil bagi perpindahan dengan selang waktu tempuhnya. Untuk gerak lurus satu dimensi, didefinisikan persamaan kecepatan rata-ratanya sebagai:

Dalam gerak pada bidang (dua dimensi) definisinya tetap, hanya x diganti dengan vektor posisi r.

Dengan r2 adalah posisi pada t = t2 dan r1 adalah posisi pada t = t1.
Bentuk komponen dari kecepatan rata-rata kita peroleh dengan mensubsitusikan r dengan x i + y j ke dalam persamaan di atas.

dengan dan
Oleh karena , maka kecepatan searh dengan arah perpindahan r.

2. Kecepatan sesaat sebagai turunan fungsi posisi
Kecepatan sesaat adalah turunan pertama dari fungsi x terhadap waktu t. Secara matematis dituliskan:

Contoh 1. 1
Sebuah partikel R bergerak dalam lintasan lurus dan posisinya terhadap titik asal O adalah x = 6t4 – 18t + 24. Tentukan :
a. kecepatan awal R
b. Kecepatan R pada t = 2
Jawab:

a. t = 0,
b. t = 2,
3. Kecepatan sesaat untuk gerak pada bidang
Kecepatan sesaat pada suatu bidang juga merupakan turunan pertama fungsi posisi r terhadap waktu t, kita tulis

Bentuk komponen dari kecepatan sesaat v kita peroleh dengan mensubsitusikan r = x i + y j ke dalam persamaan di atas.

dengan dan
Persamaan tersebut menunjukkan bahwa jika posisi (koordinat) horizontal x dan vertikal y diberikan dalam fungsi waktu t, maka kita dapat menentukan komponen kecepatan sesaat, dan dengan menggunakan turunan.
Contoh 1.2
Sebuah partikel bergerak dengan vektor posisi r = (8t2 – 4t), t dalam sekon dan r dalam meter. Tentukan besar kecepatan partikel setelah 2 sekon!
Jawab:

Untuk t = 2 sekon,
Jadi besar kecepatan partikel setelah 2 sekon adalah 28 m/s
4. Menentukan posisi dari fungsi kecepatan
Jika komponen-komponen kecepatan dan sebagai fungsi waktu diketahui, maka posisi horizontal x dan posisi vertikal y dari partikel dapat ditentukan dengan mengintegralkannya.

Dengan (x0, y0) adalah koordinat posisi awal partikel. Vektor posisi partikel pada bidang r, dapat kita tentukan dengan menggunakan persamaan r = x i + y j.
Untuk gerak partikel pada satu dimensi, kita cukup menggunakan persamaan diatas yang sebelah kiri untuk lintasan horizontal dan yang sebelah kanan untuk lintasan vertikal.

Contoh 1.3
Sebuah benda bergerak dengan kecepatan v = (2t2 i + 4t j) m/s. Jika posisi awal mainan tersebut pada koordinat (4,2) m, tentukan posisinya saat detik ke 3!
Penyelesaian:
Diberikan koordinat (x0, y0) = (4,2). Ini berarti x0 = 4 dan y0 = 2
Diberikan vx = 2t2 dan vy = 4t
Jawab:

Untuk t = 3,

Jadi posisinya setelah 3 sekon adalah (22, 20).

4. Percepatan partikel pada Bidang
1. Percepatan rata-rata
Di kelas X kita telah mendefinisikan percepatan rata-rata sebagai perubahan kecepatan dalam suatu selang waktu tertentu.

Dengan v2 adalah kecepatan pada t = t2 dan v1 adalah kecepatan pada t = t1
Bentuk komponen dari percepatan rata-rata kita peroleh dengan mensubsitusikan v dengan ke dalam persamaan di atas.

dengan dan

2. Percepatan sesaat sebagai turunan fungsi kecepatan
Percepatan sesaat adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan v terhadap waktu t. Secara matematis ditulis:

Contoh 1.4
Kecepatan dari suatu kereta api yang bergerak sepanjang suatu rel dinyatakan oleh v(t) = 3t+6t2+2t3, dengan t dalam sekon dan v dalam meter/sekon. Tentukan percepatan kereta api pada t = 2 sekon.
Penyelesaian:

Untuk t = 2 sekon,
Jadi percepatan kereta setelah 2 sekon adalah 35 m/s2.
3. Percepatan sesaat untuk gerak pada bidang
Untuk gerak pada bidang, percepatannya:

Bentuk komponen dari percepatan sesaatnya:

Dengan dan
Lebih lanjut, karena dan , maka
dan

4. Menentukan kecepatan dari persamaan percepatan
Jika percepatan a sebagai fungsi waktu t diketahui, maka kecepatan v dapat kita tentukan dengan teknik integrasi pada persamaan , sehingga:

Dengan v0 adalah vektor kecepatan awal (kecepatan pada t = 0).

Contoh 1.5
Suatu titik mula-mula diam kemudian bergerak dengan percepatan tetap 2 m/s2. Hitunglah kecepatan titik tersebut setelah 5 sekon!
Penyelesaian:

Untuk t = 5 sekon,
Jadi kecepatan titik tersebut setelah 5 sekon adalah 10 m/s.

III. Soal-Soal Latihan

Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda. Jika diperlukan, ambil g = 10 m/s2.

1. Vektor posisi sebuah partikel P pada saat t dinyatakan oleh r = 40t i + (30t – 5t2) J. Tentukan perpindahan (besar dan arah) P antara:
a. t = 0 dan t = 4;
b. antara t = 1 dan t = 3

2. Sebuah partikel P sedang bergerak dalam suatu lintasan lurus dengan vektor posisi x = 3t2 – 4t + 36, t dalam sekon dan x dalam meter. Tentukan kecepatan rata-rata P antara:
a. t = 0 dan t = 2;
b. t = 1 dan t = 3.

3. Vektor posisi sebuah partikel diberikan oleh r(t) = x(t) i + y(t) j. x(t) = at + b dan y(t)= ct2 + d, dengan a = 1 m/s, b = 1 m, c = 1/8 m/s2, dan d = 1 m.
a. Tentukan vektor posisi dan jarak partikel dari titik asal pada t = 2 s.
b. Tentukan perpindahan dan kecepatan rata-rata partikel dalam selang waktu dari t = 0
sampai dengan t = 2 s.
c. Turunkan persamaan umum kecepatan partikel
d. Tentukan kecepatan dan kelajuan partikel pada t = 2 s.
e. Mengapa jarak partikel pada (a) tidak sama dengan perpindahan pada (b)?
f. Mengapa kecepatan pada (b) tidak sama dengan kecepatan pada (d)?

4. Koordinta suatu benda dinyatakan sebagai x(t) = – (1,6 m/s3)t3 + (2,1 m/s2)t2 – 42m.
a. Tulis persamaan umum untuk percepatan a(t)
b. Tentukan percepatan pada t = 4 s
c. Berapa percepatan awal benda?

5. Suatu benda mulai bergerak dengan kecepatan awal 5 m/s dan mengalami percepatan yang berubah terhadap waktu seperti ditunjukkan pada kurva di bawah ini. Tentukan kecepatan benda pada:
a. t = 1 s b. t = 4 s c. t = 8 s

Pada gerak lurus telah anda kenal bahwa ada tiga besaran dasar, yaitu posisi (x), kecepatan (v), dan percepatan (a). Kita juga telah membahas hubungan antara x, v, dan a, baik secara grafis maupun secara matematis. Analogi dengan gerak lurus, pada gerak melingkar juga ada tiga besaran dasar, yaitu: posisi sudut (), kecepatan sudut (), dan percepatan sudut (). Pada bab ini kta akan menentukan hubungan antara posisi sudut, kecepatan sudut dan percepatan sudut.

1. Kecepatan Sudut
a. Kecepatan Sudut Rata-rata dan Sesaat
Kecepatan sudut rata-rata ( ) didefinisikan sebagai hasil bagi perpindahan sudut () dengan selang waktu tempuhnya (t).

Kecepatan sudut sesaat () didefinisikan sebagai turunan pertama dari fungsi posisi sudut  terhadap waktu t.

Contoh 2.1
Posisi sudut suatu titik pada roda dapat dinyatakan sebagai rad, dengan t dalam s. Tentukan:
a. posisi sudut pada t = 0 s dan t = 3 s.
b. kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 sampai t = 3 s
Jawab:
a. Posisi sudut rad
Pada t = 0 s; rad
Pada t = 3 s; rad
b. Kecepatan sudut rata-rata dihitung dengan persamaan
rad/s

2. Menentukan Posisi Sudut dari Fungsi Kecepatan Sudut
Kita dapat menurunkan posisi sudut sesaat pada gerak melingkar. Dari hubungan kecepatan sudut sebagai turunan fungsi posisi sudut kita peroleh penurunan rumus sebagai berikut:
atau

Dengan 0 adalah posisi sudut awal ( pada t = 0).
3. Percepatan Sudut
1. Percepatan Sudut sebagai Turunan dari Fungsi Kecepatan Sudut
Pada gerak melingkar , percepatan sudut  adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan sudut terhadap waktu atau turunan kedua dari fungsi posisi sudut terhadap waktu, kita tulis:

Contoh 2.2
Sebuah piringan hitam berputar terhadap poros sumbu Z menurut persamaan
Tentukan:
a. kecepatan sudut sebagai fungsi waktu
b. percepatan sudut sebagai fungsi waktu
c. percepatan sudut awal
d. percepatan sudut pada t = 5 s
Jawab:
a. Kecapatan sudut adalah turunan dari fungsi posisi sudut :

b. Percepatan sudut adalah turunan kedua dari fungsi sudut atau turunan pertama dari fungsi kecepatan sudut:

c. Percepatan sudut awal adalah percepatan sudut pada t = 0

d. Percepatan sudut pada t = 5 s
rad/s2

4. Menentukan Kecepatan Sudut dari Fungsi Percepatan Sudut
Pada gerak melingkar kita dapat menentukan kecepatan sudut  dengan mengintegrasikan fungsi percepatan sudut (t), memberikan hasil:
atau

Dengan 0 adalah kecepatan sudut awal ( pada t = 0)

Contoh 2.3
Sebuah piringan hitam berputar terhadap poros sumbu Z dengan percepatan sudut dinyatakan sebagai
a. bila 0 = 3,1 rad/s, tentukan persamaan untuk (t)
b. Bila 0 = 2,7 rad, tentukan (t)
Jawab:
a. Persamaan (t) dapat ditentukan dengan mengitegrasi fungsi percepatan sudut:
dengan 0 = 3,1 rad/s

b. (t) dapat ditentukan dengan mengintegralkan fungsi kecepatan sudut:
dengan

5. Gerak Melingkar Berubah Beraturan (GMBB)
1. Percepatan Total pada GMBB
Di kelas X anda telah mendefinisikan gerak melingkar beraturan (GMB) sebagai gerak partikel mengitari suatu titik poros (titik O) dengan kecepatan sudut  selalu tetap. Dalam GMB, percepatan sudut  = 0, sehingga percepatan tangensial at, yang segaris dengan kecepatan linear v, juga sama dengan nol, sebab:

Karena itu, partikel pada GMB hanya memiliki percepatan sentripetal (lihat gambar diatas).
Gerak melingkar berubah beraturan (disingkat GMBB) didefinisikan sebagai gerak partikel mengitari suatu titik poros (titik O) dengan percepatan sudut  selalu tetap (tetapi tidak nol).
Karena  tidak nol maka partikel akan mengalami percepatan tangensial at yang besarnya adalah . Vektor percepatan tangensial at segaris kerja dengan vektor kecepatan linear v, bisa searah atau berlawanan arah. Misalkan putaran partikel makin lama makin cepat, maka arah at searah dengan arah v (lihat gambar di atas). Dengan demikian, partikel yang melakukan GMBB mengalami dua percepatan: percepatan sentripetal as berarah ke pusat lingkaran dan percepatan tangensial at berarah menyinggung lingkaran. Percepatan total a dalam GMBB adalah jumlah vektor dari kedua percepatan ini.
a = as + at
Karena arah as dan at saling tegak lurus, maka besar percepatan total a adalah:

Sedangkan arah percepatan total a terhadap arah radial yaitu , dapat dihitung dengan perbandingan tangen:

Dengan dan
2. Kinematika Gerak Melingkar Berubah Beraturan
Persamaan kinematika GMBB akan mirip dengan persamaan kinematika GLBB. Dengan memperhatikan analogi besaran lurus melingkar, yaitu x dengan , v dengan , dan a dengan , maka persamaan kinematika GMBB adalah sebagai berikut:

dengan

Contoh 2.4
Dalam suatu sinklotron (alat pemercepat partikel) medan-medan elektromagnetik membuat suatu ion bergerak dalam suatu lingkaran dengan jari-jari R = 2 m. Laju awal partikel, pada t = 0 adalah v0 = 10 m/s. Medan elektromagnetik membuat ion bergerak makin cepat. Dalam praktik, siklotron diputar sedemikian rupa sehingga percepatan sudutnya adalah sik = 15 rad/s2.
a. Berapakah kelajuan sudut ion pada waktu t1 = 5 s kemudian?
b. Di antara t = 0 dan t1 = 5 s, berapa jauh jarak linear yang telah ditempuh ion?
Penyelesaian:
Diketahui:
R = 2 m
v0 = 10 m/s
 = 15 rad/s2
Jawab:
a. Laju sudut awal:
rad/s
Laju sudut akhir untuk t = 5 s adalah:
rad/s
b. Perpindahan sudut  adalah:
rad
Jarak linear yang ditempuh ion x, adalah:

Physica

Cari Blog Ini

Vektor

Komentar

Posting Komentar